Transizione di fase quantistica
Le transizioni di fase sono degli eventi fisici in cui il sistema in esame subisce un cambiamento, ovvero passa da una fase ad un'altra. Gli esempio più semplici sono proprio i passaggi da solido a liquido a gas, ma le transizioni di fase possono essere classificate anche in vari modi differenti (vedi, ad esempio, la classificazione delle transizioni di fase) e, soprattutto, ci si può trovare di fronte ad un sistema che transisce attraverso una così detta transizione di fase quantistica.
| Table of contents |
|
2 Il modello di Ising 3 Teorie di campo |
Si consideri una hamiltoniana H(g) funzione di una costante di accoppiamento g e così scomponibile:
Definizione di transizione di fase quantistica
dove H0 ed H1 commutano tra loro. Ciò vuol dire che H0 ed H1 possono essere diagonalizzate simultaneamente e che le loro autofunzioni sono indipendenti dal valore di g, pur se così non avviene per gli autovalori. Esisterà poi un valore critico gC per cui il sistema subirà un cambiamento qualitativo, aumentando la possibilità che i livelli si incrocino tra loro e soprattutto che il reticolo che descrive il sistema si comporti come se fosse composto da un numero di siti (ovvero i posti dove si vanno a posizionare le particelle) infinito.
Detta Δ la scala di energia cui avviene il cambiamento qualitativo nel sistema, essa, all'avvicinarsi al punto critico, si comporterà nel modo seguente:
Del sistema, comunque, possono essere definite anche altre grandezze, come il passo del reticolo a, che misura la distanza tra un sito ed un altro, e la lunghezza di correlazione ξ, che misura quanto sono legati i siti uno all'altro. In particolare quest'ultima distanza, all'avvicinarsi al punto critico, ha un comportamento del tipo:
Da un confronto tra queste ultime due equazioni, si ottiene:
Nella più semplice delle versioni, il modello di Ising può essere semplicemente descritto dalla seguente hamiltoniana su reticolo:
Il modello di Ising
dove : sono le matrici di Pauli, operatori che rappresentano i gradi di libertà su ogni singolo sito i del reticolo ipercubico di dimensione d preso in esame; gli autovalori sono gli spin σiz, x; la somma su si intende da fare sui siti primi vicini; J>0 è una costante che si riferisce all'interazione magnetica tra gli spin, che preferiscono un allineamento globale ferromagnetico; gJ è il campo magnetico trasverso che rompe l'ordine magnetico del reticolo.
Con questo modello si può osservare l'esistenza del valore critico gC. Quando, infatti, si ha a che fare con un g>>1, quando gli autostati dell'hamiltoniana sono una combinazione lineare degli stati su (spin verso l'alto) e giù (spin verso il basso), si osserva che la funzione di correlazione dello stato di vuoto risulta:
Risulta evidente che esiste un valore critico che fa cambiare la costante d'accoppiamento g. In dipendenza di questo cambiamento, allora, vanno determinate le varie grandezze termodinamiche del sistema e gli esponenti critici ad esse legati, utilizzando ad esempio questa hamiltoniana all'interno della funzione di partizione:
Teorie di campo
Un buon metodo per studiare le transizioni di fase quantistiche è utilizzare una teoria di campo e applicarla al sistema in esame. Per poter applicare una teoria di campo, però, è necessario che siano rispettate alcune condizioni, differenti a seconda dell'approccio che si utilizza nello studio del sistema, ma assolutamente equivalenti. Dal punto di vista della fisica delle particelle devono essere rispettati i limiti di Λ → ∞ e J → ∞ mentre Δ, ξ, x, ω e T restano fissate (con ω frequenza di scala). In termini dei parametri adimensionali, ciò vuol dire che Λξ → ∞ e J/Δ → ∞, mentre hω/Δ, x/ξ e kBTT/Δ sono fissate. Tali limiti sono verificati all'avvicinarsi di g al suo valore critico.
Dal punto di vista della materia condensata, invece, si fissano Λ e J e si studia la risposta del sistema a piccoli Δ, grandi ξ e a grandi distanze e tempi e basse temperature.
I due approcci sono equivalenti nel limite in cui i rapporti adimensionali sono identici in ognuno di essi.
Le funzioni di risposta risultanti possono essere considerate come i correlatori di una teoria quantistica dei campi, associata ad una data hamiltoniana. In questa hamiltoniana si determina il parametro (d'ordine) che caratterizza il sistema e, in vece della grandezza fisica, si utilizza un vero e proprio campo, in modo tale da poter trattare la teoria come una teoria di campo.
In particolare la funzione di partizione sarà definita da un integrale di cammino di Feynman:
Questa teoria di campo presenta una transizione di fase da una fase con
Una particolare teoria di campo, o modello, usualmente noto come modello sigma nonlineare O(N) in d dimensioni presenta una funzione di partizione così definita:
L'azione è quadratica in n e quest'ultimo deve, infine, soddisfare alla condizione
Modello sigma non-lineare
con
dove il campo n (x, τ) deve soddisfare a condizioni di periodicità simili a quelle del campo φα.
Questa azione è associata ad una lagrangiana del tipo:
| Fisica |
| Progetto Fisica | Portale Fisica |
